Τμήμα : Γενικό
Τομέας : Μαθηματικών
Κωδικός : ΔΕ3310
Εξάμηνο : 3ο
Μάθημα Κορμού.
Υποχρεωτικό.
Ώρες Θεωρίας : 6
Ώρες Εργαστηρίου : 0
ΔΕΠ :
Ν. Σταυρακάκης, Επίκουρος Καθηγητής,
Κ. Κυριάκη, Επίκουρος Καθηγήτρια.
Περιεχόμενο του μαθήματος :
Η έννοια της διαφορικής εξίσωσης (Δ.Ε.) και σχετικοί ορισμοί. Το πρόβλημα αρχικών τιμών. Παραδείγματα φυσικών προβλημάτων που ανάγονται σε Δ.Ε. Διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης: Χωριζομένων μεταβλητών, Γραμμικές, Πλήρεις, Δ.Ε. Bernoulli, Δ.Ε. Ricatti, clairaut, Lagrange. Ισογώνιες τροχιές. Το πρόβλημα της ύπαρξης και μοναδικότητας λύσης προβλημάτων αρχικών τιμών Δ.Ε. πρώτης τάξης. Το θεώρημα του Picard. Γραφικός προσδιορισμός λύσεων. Η έννοια της προσεγγιστικής λύσης. Γραμμικές Δ.Ε. ανώτερης τάξης: Το πρόβλημα αρχικών τιμών. Ομογενείς Δ.Ε. Μη ομογενείς Δ.Ε. Προσδιορισμός της γενικής λύσης της γραμμικής από τη γενική λύση της αντίστοιχης ομογεννούς. (Μέθοδοι μεταβολής των παραμέτρων ή μέθοδος Lagrange). Υποβιβασμός τάξης. Ομογενείς Δ.Ε. με σταθερούς συντελεστές. Δ.Ε. Euler. Γραμμικές Δ.Ε. με ασυνεχές δεύτερο μέλος (συνεχής συνάρτηση εξαναγκασμού). Συστήματα Δ.Ε. Η έννοια του συστήματος Δ.Ε. Το πρόβλημα αρχικών τιμών. Σχέση μεταξύ λύσεων συστημάτων Δ.Ε. και Δ.Ε. ανώτερης τάξης. Γραμμικά ομογενή συστήματα. Προσδιορισμός της γενικής λύσης Γραμμικών συστημάτων από τη γενική λύση του αντίστοιχου ομογενούς. Μέθοδος μεταβολής παραμέτρων. Γραμμικά ομογενή συστήματα με σταθερούς συντελεστές. Άλλες μορφές συστημάτων. Παραδείγματα φυσικών προβλημάτων. Λύση Δ.Ε. δεύτερης τάξης με τη μέθοδο των δυναμοσειρών. Αναλυτικά, συνήθη, ιδιάζοντα και κανονικά ιδιάζοντα σημεία Δ.Ε. Ύπαρξη αναλυτικών λύσεων σε περιοχή αναλυτικών σημείων Δ.Ε. Λύση σε κανονικά ιδιάζοντα σημεία (Μέθοδος Frobenious). Πολυώνυμα Legendre, Συναρτήσεις Bessel. Μετασχηματισμός Laplace. Ορισμοί. Ιδιότητες και αντιστροφή των μετασχηματισμών Laplace Συνέλιξη. Εφαρμογή στη λύση προβλημάτων αρχικών τιμών Δ.Ε. και συστημάτων Δ.Ε. Ευστάθεια. Επέκταση λύσεων. Συνεχής εξάρτηση λύσεων και αρχικές τιμές. Ορισμός της ευσταθούς λύσης κατά Lyapunov. Ευστάθεια λύσεων γραμμικών συστημάτων Δ.Ε. με σταθερούς συντελεστές. Οι τροχιές στην περίπτωση ομογενών 2x2 συστημάτων. Η μέθοδος Lyapunov. Η μέθοδος της γραμμικοποίησης.